已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）滿足：對任意實數(shù)x，都有f（x）≥x，且當(dāng)x∈（1，3）時，有f(x)≤
1
8
(x+2)2成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表達(dá)式．
證明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2．…（2分）
因為當(dāng)x∈（1，3）時，有f（x）≤
1
8
(x+2)2成立，所以f（2）≤
1
8
(2+2)2=2．
所以f（2）=2．…（4分）
（2）由
f(2)=2 
f(-2)=0
得
4a+2b+c=2
4a-2b+c=0

從而有b=
1
2
，c=1-4a．于是f（x）=ax2+
1
2
x+1-4a．…（7分）
f（x）≥x?ax2-
1
2
x+1-4a≥0．
若a=0，則-
1
2
x+1≥0不恒成立．
所以
a＞0                        
(-
1
2
)2-4a(1-4a)≤0
即
a＞0           
(4a-
1
2
)2≤0
解得a=
1
8
．…（11分）
當(dāng)a=
1
8
時，f（x）=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
=
1
8
(x+2)2
滿足f（x）≤
1
8
(x+2)2(x∈(1，  3))．…（12分）
故f（x）=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
．…（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案