Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）直線l為圓O：x²+y²=b²一條切線，記橢圓的離心率為e，
（1）若直線l的傾斜角為

π

6

，且恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，求e的大�。�
（2）是否存在這樣的e使得：①橢圓的右焦點(diǎn)在直線l上；②原點(diǎn)o關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)恰好在橢圓C上同時(shí)成立，若不存在，請求出e的大��；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的右焦點(diǎn)，進(jìn)而可設(shè)直線方程，利用直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，可得一方程，利用橢圓的簡單性質(zhì)a²=b²+c²，根據(jù)離心率公式即可求出e的值；
（2）假設(shè)存在這樣的e，使得原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)恰好在橢圓C上，不妨設(shè)方程為x-my-c=0，從而利用原點(diǎn)O關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上，即可求解．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為（c，0），c=

a2-b2

，
則直線l的方程為x-

3

y-c=0，
∵直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，
即有

|c|

1+3

=b
∴b=

1

2

c，
∴a²=b²+c²=

5

4

c²．
∴e=

c

a

=

2 5

5

；
（2）假設(shè)存在這樣的e，使得原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)恰好在橢圓C上，
且橢圓的右焦點(diǎn)在直線l上．
不妨設(shè)l的方程為x-my-c=0．
∵直線l為圓O：x²+y²=b²的一條切線，則

|c|

1+m2

=b，
∴m²=

c2

b2

-1，
設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線的對稱點(diǎn)O′（x₀，y₀），則x₀=

2c

1+m2

，y₀=-

2mc

1+m2

∵O'在橢圓上，代入可得

4c2

a2(1+m2)2

+

4m2c2

b2(m2-1)2

=1，
∴b²=3c²∴m²=

c2

b2

-1＜0不成立．
故不存在這樣的e，使得橢圓的右焦點(diǎn)在直線l上，且原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)恰好在橢圓C上．

點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的離心率，考查對稱問題，有一定的綜合性．