Question

【題目】已知，令求能取到的不同的整數(shù)值的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】1005

【解析】

因?yàn)?/span>，，

所以，.

設(shè)和式中有個(gè)，個(gè)，個(gè)1.則，且.

故 .

若為整數(shù)，則.此時(shí)，

.

（1）當(dāng)時(shí)，中至少有1007個(gè)，1007個(gè)，即至少有2014個(gè)數(shù)，矛盾.

當(dāng)時(shí)，中至少有1006個(gè)，1006個(gè).

（i）中有1006個(gè)，1007個(gè).

由于中有1005個(gè)，則這1006個(gè)在中連在一起，

即，

，

，

其中，.故

.

（ii）中有1007個(gè)，1006個(gè).類似有，

，

，

，

其中，.

綜合（i）、（ii），共有2012個(gè)，使取最大值6032.

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，存在使得.

當(dāng)時(shí)，由（1）已證.

假設(shè)當(dāng)時(shí)，存在使得.

將中連續(xù)的壓（或）稱為一段.分別從段長(zhǎng)度大于1的段、段中各取一個(gè)，放在數(shù)列末尾（若原末尾為，則取出的放最末尾；若原末尾為，則取出的放最末尾）.

于是，和式中的、各減少l，增加2.此時(shí)，.

故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.

綜上，能取到的不同整數(shù)值個(gè)數(shù)為1005.