已知橢圓的左、右焦點分別是、，離心率為，橢圓上的動點到直線的最小距離為2，延長至使得，線段上存在異于的點滿足.

（1）  求橢圓的方程；
（2）  求點的軌跡的方程；
（3）  求證：過直線上任意一點必可以作兩條直線
與的軌跡相切，并且過兩切點的直線經(jīng)過定點.
（1）；（2）；（3）直線經(jīng)過定點（1,0）.
本試題主要考查了圓與直線，以及橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用。
解：（1）依題意得，   ………………………………………………2分
解得，∴ ……………………………………………………………3分
橢圓的方程為  …………………………………………………………………4分
（2）解法1：設點T的坐標為(x,y).
當重合時，點坐標為和點，    …………………………………5分
當不重合時，由，得. ……………………………6分
由及橢圓的定義，， …………7分
所以為線段的垂直平分線，T為線段的中點
在中，， …………………………………………8分
所以有.
綜上所述，點的軌跡C的方程是.   …………………………………9分
（3）  直線與相離，
過直線上任意一點可作圓的兩條切線   …………10分
所以
所以O,E,M,F四點都在以OM為直徑的圓上，  …………………………11分
其方程④      …………………………12分
EF為兩圓的公共弦，③-④得：EF的方程為4X+ty -4=0      ………13分
顯然無論t為何值，直線ef經(jīng)過定點(1,0).          ………………14分
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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如圖6，已知動圓M過定點F（1,0）且與x軸相切，點F 關(guān)于圓心M 的對稱點為 F'，動點F’的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設是曲線C上的一個定點，過點A任意作兩條傾斜角互補的直線，分別與曲線C相交于另外兩點P 、Q．
①證明：直線PQ的斜率為定值；
②記曲線C位于P 、Q兩點之間的那一段為l．若點B在l上，且點B到直線PQ的
距離最大，求點B的坐標．

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已知直線：(kR)與圓C:相交于點A、B, M為弦AB中點．
(Ⅰ) 當k=1時，求弦AB的中點M的坐標及AB弦長；
（Ⅱ）求證：直線與圓C總有兩個交點;
（Ⅲ）當k變化時求弦AB的中點M的軌跡方程．

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直線截圓所得的兩段弧長之差的絕對值是
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

曲線與直線有兩個交點時，實數(shù)的取值范圍是（   ）
A．≤k<1B．C．≤k≤1D．<k＜1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為      ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓的方程為且與圓相切.
（1）求直線的方程；
（2）設圓與軸交于兩點，M是圓上異于的任意一點，過點且與軸垂直的直線為，直線交直線于點P’,直線交直線于點Q’
求證：以P’Q’為直徑的圓總過定點，并求出定點坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點是圓上的動點， （13分）
（1）求的取值范圍
（2）若恒成立，求實數(shù)的取值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線與圓交于兩點，且，則實數(shù)的值為(    )
A．2B．-2 C．2或-2D．或

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