正三棱柱ABC-A
1B
1C
1的所有棱長(zhǎng)都相等，D是A
1C
1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B
1DC所成角的正弦值為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】
分析：先證出B
1D⊥平面AC
1，過A點(diǎn)作AG⊥CD，證AG⊥平面B
1DC，可知∠ADG即為直線AD與平面B
1DC所成角，求其正弦即可．
解答：
解：如圖，連接B
1D
∵D是A
1C
1的中點(diǎn)，△A
1B
1C
1是正三角形
∴B
1D⊥A
1C
1，
∵平面AC
1⊥平面A
1B
1C
1，平面AC
1∩平面A
1B
1C
1=A
1C
1，
∴B
1D⊥平面AC
1，
過A點(diǎn)作AG⊥CD，則由B
1D⊥平面AC
1，得AG⊥B
1D
由線面垂直的判定定理得AG⊥平面B
1DC，
于是∠ADG即為直線AD與平面B
1DC所成角，
由已知，不妨令棱長(zhǎng)為2，則AD=
=CD，
由等面積法得AG=
=
所以直線AD與面DCB
1的正弦值為
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正棱柱的性質(zhì)以及線面角的求法，考查空間想象能力以及點(diǎn)線面的位置關(guān)系．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖：在正三棱柱ABC-A
1 B
1 C
1中，AB=
=a，E，F(xiàn)分別是BB
1，CC
1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A
1-AEF的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖在 正三棱柱ABC-A
1 B
1 C
1中，底面邊長(zhǎng)為
（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證A B
1⊥B C
1；
（2）設(shè)A B
1與B C
1成60
0角，求側(cè)棱長(zhǎng)．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
如圖，在正三棱柱ABC-A
1 B
1 C
1中，AA
1=4，AB=2，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AA
1上，AN=
．
（1）求BC
1與側(cè)面AC C
1 A
1所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C
1；
（3）求二面角C-C
1B-M的平面角的正弦值，若在△A
1B
1C
1中，
=，
=，
=x+y，求x+y的值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：解答題
如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：1996年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）
題型：解答題
如圖：在正三棱柱ABC-A
1 B
1 C
1中，AB=
=a，E，F(xiàn)分別是BB
1，CC
1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A
1-AEF的體積．
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