Question

【題目】已知橢圓（），點(diǎn)為橢圓短軸的上端點(diǎn)，為橢圓上異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值僅在點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知.

（1）若，判斷橢圓是否為“圓橢圓”；

（2）若橢圓是“圓橢圓”，求的取值范圍；

（3）若橢圓是“圓橢圓”，且取最大值，為關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，也異于點(diǎn)，直線、分別與軸交于、兩點(diǎn)，試問(wèn)以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）是；（2）；（3）是，證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）直接判斷即可，

（2）由（1）的方法判斷，可得y＝﹣2時(shí)，函數(shù)值達(dá)到最大，分別討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，是否滿足條件得出a的取值范圍；

（3）設(shè)參數(shù)方程滿足以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，使數(shù)量積為零得出定點(diǎn)（0，2）．

（1）由題意得橢圓方程：1，所以A（0，2），

設(shè)P（x，y）則|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5（1）+（y﹣2）2y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，

二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函數(shù)單調(diào)遞減，

所以y＝﹣2時(shí)，函數(shù)值最大，此時(shí)P為橢圓的短軸的另一個(gè)端點(diǎn)，

∴橢圓是“圓橢圓”；

（2）由（1）的方法：橢圓方程：1，A（0，2）設(shè)P（x，y），則|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2（1）+（y﹣2）2＝（1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由題意得，

當(dāng)且僅當(dāng)y＝﹣2時(shí)，函數(shù)值達(dá)到最大，

討論：①當(dāng)開(kāi)口向上時(shí)，滿足：﹣2＜a＜2（與矛盾，舍）；

②當(dāng)開(kāi)口向下時(shí)，滿足2＜a≤2，

綜上a的范圍：（2，2]．

（3）a＝2，橢圓方程：1，由題意：設(shè)P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，則Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），則直線AP：yx+2M（，0）

則直線AQ：y2N（，0），

MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)C，由對(duì)稱性知C在y軸上，∴設(shè)C（0，n）則，且0，

∴,（n），∴,

所以得定點(diǎn)（0，2）．