Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足．
（1）求證：是等差數(shù)列；
（2）求a_n的表達(dá)式；
（3）若b_n=-2a_n（n≥2），求證：b₂+b₃+…+b_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)-a_n=2S_n•S_n-1，可得-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），從而可得，故可得是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）得，再利用當(dāng)n≥2時(shí)，，當(dāng)n=1時(shí)，，即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)b_n=-2a_n（n≥2），求出b_n=，再用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論．
解答：（1）證明：∵-a_n=2S_n•S_n-1，∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），S_n≠0（n=1，2，3…）-----------（1分）
∴
又，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列---------------（4分）
（2）解：由（1）得，∴
當(dāng)n≥2時(shí)，
當(dāng)n=1時(shí)，
∴--------------（8分）
（3）證明：由上知，=---------------（10分）
∴b₂+b₃+…+b_n==．---------------（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求和．