Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，數(shù)列{

bn

an

}的前n項和為1-

n+1

3n

．
（Ⅰ）求b₁的值；
（Ⅱ）（i）b₂=b₁+2，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（ii）記數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項和為S_n，求證：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得

b1

3

=1-

2

3

=

1

3

，由此能求出b₁．
（Ⅱ）（i）由已知得b₂=3，

1

3

+

3

a2

=1-

3

9

=

2

3

，從而a₂=9，進而a_n=3ⁿ，再由

an

bn

=（1-

n+1

3n

）-（1-

n

3n-1

）=

2n-1

3n

，能求出b_n=2n-1．
（ii）由

1

bn•bn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能證明S_n＜

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，
數(shù)列{

bn

an

}的前n項和為1-

n+1

3n

，
∴

b1

3

=1-

2

3

=

1

3

，解得b₁=1．
（Ⅱ）（i）解：∵b₂=b₁+2，b₁=1，∴b₂=3，
∵

1

3

+

3

a2

=1-

3

9

=

2

3

，∴a₂=9，
∵a₁=3，且{a_n}是等比數(shù)列，∴a_n=3ⁿ，
∵

an

bn

=（1-

n+1

3n

）-（1-

n

3n-1

）=

2n-1

3n

，n≥2，
∴b_n=2n-1，n≥2，
∵b₁=1，∴b_n=2n-1．
（ii）證明：∵

1

bn•bn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
∴S_n＜

1

2

．

點評：本題考查數(shù)列的首項的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．