Question

（16分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；
①直接寫(xiě)出的范圍（不必證明）；
②若對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1） ；（2）。

本試題主要是考查了抽象函數(shù)的解析式的求解和單調(diào)性的證明以及解不等式。
（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234613412447.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù)，所以，進(jìn)而得到解析式。
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，對(duì)于參數(shù)a分為正負(fù)來(lái)討論得到取值范圍。
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234613505891.png" style="vertical-align:middle;" />，∴
所以是奇函數(shù)，∴，而又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234613412447.png" style="vertical-align:middle;" />為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)的思想得到范圍。
（1）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234613412447.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù)，
所以
所以                    …………………………6分
（2）①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸，所以在上單調(diào)遞減，
由于奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在上單調(diào)遞減，
又在上，在上，
所以當(dāng)a0時(shí)，為R上的單調(diào)遞減函數(shù)
當(dāng)a>0時(shí)，在上遞增，在上遞減，不合題意
所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時(shí)，a的范圍為a………………………………………….10分
②因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234613505891.png" style="vertical-align:middle;" />，∴
所以是奇函數(shù)，∴           …………………………12分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823234613412447.png" style="vertical-align:middle;" />為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，…………………14分
所以恒成立， 所以 …………………………16分