【題目】設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為( 。
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
【答案】C
【解析】解:∵拋物線C方程為y2=2px(p>0),
∴焦點F坐標為( , 0),可得|OF|= ,
∵以MF為直徑的圓過點(0,2),
∴設(shè)A(0,2),可得AF⊥AM,
Rt△AOF中,|AF|=
∴sin∠OAF=
∵根據(jù)拋物線的定義,得直線AO切以MF為直徑的圓于A點,
∴∠OAF=∠AMF,可得Rt△AMF中,sin∠AMF=
∵|MF|=5,|AF|=
∴,整理得,解之可得p=2或p=8
因此,拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x.
故選:C.
方法二:
∵拋物線C方程為y2=2px(p>0),∴焦點F( , 0),
設(shè)M(x,y),由拋物線性質(zhì)|MF|=x+=5,可得x=5﹣ ,
因為圓心是MF的中點,所以根據(jù)中點坐標公式可得,圓心橫坐標為
由已知圓半徑也為 , 據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(0,2),故圓心縱坐標為2,則M點縱坐標為4,
即M(5﹣ , 4),代入拋物線方程得p2﹣10p+16=0,所以p=2或p=8.
所以拋物線C的方程為y2=4x或y2=16x.
故答案C.
根據(jù)拋物線方程算出|OF|= , 設(shè)以MF為直徑的圓過點A(0,2),在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=.再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF,Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關(guān)系式,從而得到關(guān)于p的方程,解之得到實數(shù)p的值,進而得到拋物線C的方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的參數(shù)方程為(θ是參數(shù)),直線l的極坐標方程為(ρ∈R)
(Ⅰ)求C的普通方程與極坐標方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點,求|AB|的值.
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【題目】函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+b(a≠0)在閉區(qū)間[1,2]上有最大值0,最小值﹣1,則a,b的值為( )
A.a=1,b=0
B.a=﹣1,b=﹣1
C.a=1,b=0或a=﹣1,b=﹣1
D.以上答案均不正確
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【題目】已知c>0,設(shè)命題p:函數(shù)y=cx為減函數(shù);命題q:當x∈[ , 2]時,函數(shù)f(x)=x+> 恒成立,如果p∨q為真命題,p∧q為假命題,求c的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),且.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)若對任意,都有,求的取值范圍;
(Ⅲ)證明函數(shù)的圖象在圖象的下方.
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【題目】如圖,四棱錐P ABCD中,底面ABCD為平行四邊形, ,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(Ⅰ)證明:PB∥平面AEC;
(Ⅱ)設(shè)AD=2, ,求三棱錐的體積.
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【題目】如圖,在五面體ABCDEF中,F(xiàn)A⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M為EC的中點,AF=AB=BC=FE= AD,
(1)求異面直線BF與DE所成的角的大小;
(2)證明平面AMD⊥平面CDE;
(3)求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2(a>0)在x=1處有極值10.
(1)求a、b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)求f(x)在[0,4]上的最大值與最小值.
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