Question

關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的兩實(shí)根為x₁，x₂，若0＜x₁＜1＜x₂＜2，則

b

a

的取值范圍是（　�。�

• A、(-2，-

  4

  5

  )
• B、(-

  3

  2

  ，-

  4

  5

  )
• C、(-

  5

  4

  ，-

  2

  3

  )
• D、(-

  5

  4

  ，-

  1

  2

  )

Answer 1

分析：先利用二次方程根的分布得出關(guān)于a，b的約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=

b

a

，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線OP過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，z分別、取得最大或最小，從而得到

b

a

的取值范圍即可．

解答：解：設(shè)f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1，
則方程f（x）=0的兩實(shí)根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂＜2的
充要條件是

f(0)=a+b+1＞0 f(1)=2a+b+3＜0 f(2)=3a+b+7＞0

，
作出點(diǎn)（a，b）滿足的可行域?yàn)椤鰽BC的內(nèi)部，
其中點(diǎn)A（-2，1）、B（-3，2）、C（-4，5），

b

a

的幾何意義是△ABC內(nèi)部任一點(diǎn)（a，b）與原點(diǎn)O連線的斜率，
而kOA=-

1

2

，kOB=-

2

3

，kOC=-

5

4

作圖，
易知

b

a

∈(-

5

4

，-

1

2

)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本小題是一道以二次方程的根的分布為載體的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，能力要求較高．