Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面△ABC中，CA=CB=1，∠ACB=90°，棱AA₁=2，M，N分別是A₁B₁，AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證NB⊥C₁M；
（2）求cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（3）求平面BNC與平面BCC₁B₁所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示．從而算出

BN

、

C1M

的坐標(biāo)，得到數(shù)量積

BN

•

C1M

=0．從而可得

BN

⊥

C1M

，即NB⊥C₁M；
（II）由（I）的坐標(biāo)系，得到向量

BA1

、

CB1

的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式加以計(jì)算，即可得到cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（III）取CC₁的中點(diǎn)H，連NH、NC．利用面面垂直的定義與性質(zhì)，結(jié)合題意證出BC⊥平面AA₁C₁C，從而BC⊥CN，結(jié)合BC⊥C₁C得∠NCH是平面BNC與平面BCC₁B₁所成二面角的平面角．Rt△NCH中，利用題中數(shù)據(jù)算出∠NCH大小，從而得到平面BNC與平面BCC₁B₁所成的角的余弦值．

解答：解：（ I ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°
∴CA、CB、CC₁兩兩互相垂直，
因此，分別以CA、CB、CC₁所在直線為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示．
則A（1，0，0），B（0，1，0），A₁ （1，0，2），B₁ （ 0，1，2），
C₁（0，0，2），M（

1

2

，

1

2

，2），N（1，0，1），
∴

BN

=（1，-1，1），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），
∴

BN

•

C1M

=1×

1

2

+（-1）×

1

2

+1×0=0，
可得

BN

⊥

C1M

，即NB⊥C₁M；
（II）由（I）得：

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（ 0，1，2）． 
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

|BA1| • |CB1|

=

1×0+(-1)×1+2×2

6 • 5

=

30

10

即cos＜

BA1

，

CB1

＞的值為

30

10

；
（III）取CC₁的中點(diǎn)H，連線NH、NC，則NH∥CA
∵∠BCA=90°，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA是A-CC₁-B的平面角
∴平面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C，
結(jié)合BC⊥CC₁可得BC⊥平面AA₁C₁C，得BC⊥CN
∴∠NCH就是平面BNC與平面BCC₁B₁所成二面角的平面角
Rt△NCH中，NH=1，CH=

1

2

CC₁=1，所以∠NCH=45°
因此，平面BNC與平面BCC₁B₁所成的角的余弦值等于cos45°=

2

2

．

點(diǎn)評：本題在直三棱柱中求線線垂直、求異面直線所成角并求二面角的大小．著重考查了直棱柱的性質(zhì)、利用空間坐標(biāo)系研究線線角和面面角等知識，屬于中檔題．