Question

已知S_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，那么S_n的取值范圍是（　�。�

• A、（1，

  3

  2

  ）
• B、[1，2）
• C、（2，5）
• D、（5，+∞）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，知Sn＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=2-

1

n

＜2．由{S_n}是增數(shù)列，知{S_n}_min={S_n}=1．所以S_n的取值范圍是[1，2）．

解答： 解：∵S_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

，
∴Sn＞1+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

=1+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1+

1

2

-

1

n+1

=

3

2

-

1

n+1

，
Sn＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2．
∵

1

n2

＞0，∴{S_n}是增數(shù)列，∴{S_n}_min={S_n}=1．
∴S_n的取值范圍是[1，2）．
故選：B．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意裂項求和法的合理運用．