Question

如圖，在正方體中，E、F分別是、CD的中點．

(1)證明：；

(2)求AE與所成的角；

(3)證明：；

(4)設，求三棱錐F－的體積．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證明：∵是正方體，∴． 又，∴． (2)取AB中點G，連結，FG． ∵F是CD的中點，∴GF、AD平行且相等，又、AD平行且相等， ∴GF、平行且相等，故是平行四邊形，∴． 設與AE相交于點H，則∠是AE與所成的角， ∵E是的中點，∴， ∴，∴，即直線AE與所成角為直角． (3)由(1)知，由(2)知，又∵AD∩AE=A， ∴． 又∵，∴． (4)連結GE，． ∵，∴，∴． ∵，∴． ∴．

提示：

本例是97年高考試題，其特點是知識和方法的覆蓋面大(既考查了平行與垂直的證明，又有角和面積、體積的計算)；同時命題以若干小題的形式出現(xiàn)．既各自獨立，又環(huán)環(huán)相扣，由易到難，逐步深入．本題第四小題是體積計算，這是歷年命題的重點之一．為此首先要熟悉各種幾何體的概念和性質，掌握所有計算公式；同時還應能熟練運用“等積變形”、“分解與組合”(即“割補法”)等方法和技巧．在這里直接套用求體積公式不如采用割補法來得快捷．