Question

(湖北八校模擬)已知，，的最小值為1，若動點P同時滿足下列三個條件：

①(a＞c＞0)；

② ；

③動點P的軌跡C經(jīng)過點B(0，－1)．

(1)求c的值；

(2)求曲線C的方程；

(3)是否存在方向向量為(k≠0)的直線l，使l與曲線C交于兩個不同的點M、N，且，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設(shè)G(x，y)，則G在直線y=x上，所以取最小值時為點F到直線y=x的距離，即，得．　　　　(4分) (2)， 直線， 又． ∴點P在以F為焦點，為準線的橢圓上，設(shè)P(x，y)，則有 ， 將點B(0，－1)代入，解得， ∴曲線C的方程為．　　　　(8分) (3)假設(shè)存在方向向量為的直線l滿足條件， 則可設(shè)l：y=kx＋m(k≠0)，與橢圓聯(lián)立，消去y得 ， 由判別式，可得，　　　　　　　　① 設(shè)，MN的中點， 由，則有BP⊥MN，由韋達定理代入 ，可得到，　　　　　　　　② 聯(lián)立①②，可得到， 或， 即存在，使l與曲線C交于不同的點M，N，且 ．　　　　(13分)