已知點P（2，2），圓C：x2+y2-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．
（1）當弦AB長度最短時，求l的方程及弦AB的長度；
（2）求M的軌跡方程．
考點：直線和圓的方程的應用
專題：綜合題,直線與圓
分析：（1）當弦AB長度最短時，AB⊥MC，即可求l的方程及弦AB的長度；
（2）由題設知
CM
•
MP
=0，即可求M的軌跡方程．
解答： 解：（1）圓C的方程可化為x2+（y-4）2=16，所以圓心為C（0，4），半徑為4．
當AB⊥MC時弦AB最短，此時AB=2
R2-CP2
=4
2
，l的方程x-2y+2=0；
（2）設M（x，y），則
CM
=（x，y-4），
MP
=（2-x，2-y），
由題設知
CM
•
MP
=0，
故x（2-x）+（y-4）（2-y）=0，即（x-1）2+（y-3）2=2．
由于點P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是（x-1）2+（y-3）2=2．
點評：本題考查直線和圓的方程的應用，考查軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)增區(qū)間為（　�。�
A、（0，1）
B、（-∞，0）
C、（1，+∞）
D、（-∞，0）∪（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ（x）組成的集合：對于函數(shù)φ（x），存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ（x）的值域包含于區(qū)間[-M，M]．例如，當φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx時，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．現(xiàn)有如下命題：
①設函數(shù)f（x）的定義域為D，則“f（x）∈A”?“?b∈R，?x∈R，f（a）=b”；
②若函數(shù)f（x）∈B，則f（x）有最大值和最小值；
③若函數(shù)f（x），g（x）的定義域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，則f（x）+g（x）∉B；
④若函數(shù)f（x）=
ax
x2+1
（a∈R），則f（x）∈B．
其中的真命題有
 
．（寫出所有真命題的序號）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知關于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解下列不等式：
（1）|2-3x|≤
1
2

（2）|x|+|x+1|＜2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=
cosα-sinα
sinαcosα
對應的變換作用下得到點A（-b，a）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）求曲線C：（x-1）2+y2=1在矩陣M-1所對應的變換作用下得到的曲線C′的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知兩直線x-ky-k=0與y=k（x-1）平行，則k的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，前n項和為Sn，求證：Sn2+S2n2=Sn（S2n+S3n）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線：
（1）
x=4cosφ
y=-5sinφ
（φ為參數(shù)）；       
（2）
x=1-4t
y=2t
（t為參數(shù)）

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