Question

15．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）探求f（x）在區(qū)間[1，+∞）的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 （1）利用$f（x）=x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2，建立方程，求a的值；
（2）利用奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）利用單調(diào)性的定義，判斷與證明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$x+\frac{a}{x}$，且f（1）=2，∴1+a=2，即a=1．
（2）由（1）可知，f（x）=$x+\frac{1}{x}$．
∵函數(shù)f（x）的定義域（-∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=（-x）+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）．
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{x_1}-{x_2}）•（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$．
當(dāng)x₂＞x₁≥1時(shí)，x₁x₂＞1，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．