Question

3．若函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f^-1（x），且函數(shù)$y=tan\frac{πx}{6}-f（x）$圖象過(guò)$（2，\sqrt{3}-\frac{1}{3}）$，則函數(shù)$y={f^{-1}}（x）-\frac{π}{2}$的圖象一定過(guò)$（{\frac{1}{3}，2-\frac{π}{2}}）$．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x），且函數(shù)$y=tan\frac{πx}{6}-f（x）$的圖象過(guò)點(diǎn)$（2，\sqrt{3}-\frac{1}{3}）$，代入計(jì)算出函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)哪一個(gè)點(diǎn)，根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)圖象的關(guān)系，我們易得函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）過(guò)什么點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)$y={f^{-1}}（x）-\frac{π}{2}$的圖象過(guò)的定點(diǎn)．

解答 解：∵函數(shù)$y=tan\frac{πx}{6}-f（x）$的圖象過(guò)點(diǎn)$（2，\sqrt{3}-\frac{1}{3}）$，
∴$\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}$=tan$\frac{π}{3}$-f（2），
即f（2）=$\frac{1}{3}$，
即函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，$\frac{1}{3}$），
則函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f^-1（x）過(guò)（$\frac{1}{3}$，2）點(diǎn)，
∴函數(shù)$y={f^{-1}}（x）-\frac{π}{2}$的圖象一定過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，2-$\frac{π}{2}$），
故答案為：$（{\frac{1}{3}，2-\frac{π}{2}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反函數(shù)的性質(zhì)，考查反函數(shù)的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．