Question

已知如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=

π

2

，AB=BC=2AD=2，E、F分別是線段AB、CD上的動點且EF∥BC，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD丄平面EBCF （如圖2）．

（1）當AE為何值時，有BD丄EG？
（2）設(shè)AE=x，以F、B、C、D為頂點的三梭錐的體積記為f（x），求f（x）的最大值；并求此時二面角D-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以點E為坐標原點，射線EB為X軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系E-XYZ，設(shè)AE=x，得出各點的坐標，表示出BD與EG對應(yīng)的向量，令它們的內(nèi)積為0建立方程，求出x的值，得出兩直線垂直的條件；
（2）先由體積公式計算出f（x），，利用基本不等式求出函數(shù)的最大值據(jù)等號成立的條件得到AE的值，由此得到有關(guān)各點的坐標，設(shè)出法向量，求出兩個半平面的法向量由公式求出夾角的余弦即可

解答：解：（1）以點E為坐標原點，射線EB為X軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系E-XYZ，設(shè)AE=x，則E（0，0，0），B（2-x，0，0），D（0，1，x），G（2-x，1，0），
∴

BD

=(x-2，1，x)，

EG

=(2-x，1，0)，
∵BD丄EG，
∴

BD

•

EG

=0，即（x-2）（2-x）+1=0，解得x=1或x=3，
又在圖1中AB=2，
∴x=1，故AE=1時有BD丄EG；
（2）∵AD∥面BEC，
∴f（x）=V_D-BCF=V_A-BCF=

1

3

×S_△BCF×AE=

1

3

× 

1

2

 × 2(2-x)x≤

1

3

×(

2-x+x

2

)2=

1

3

．
設(shè)平面DBF的法向量為

n1

=(x，y，z)，
∵AE=1，B（1，0，0），D（0，1，1），F(xiàn)（0，

3

2

，0），
∴

BF

=(-1，

3

2

，0)，

BD

=（-1，1，1），則

n1 • BD =0 n1 • BF =0

，即

-x+y+z=0 -x+ 3 2 y=0

，令y=2，得

n1

=(3，2，1)，
∵AE⊥面BCF，
∴面BCF的一個法向量為

n2

=(0，0，1)，則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

14

14

，
由于所求的二面角D-BF-C的平面角是鈍角，所以此二面角的余弦值為-

14

14

點評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關(guān)鍵是建立空間坐標系，利用向量法求證線面垂直，線面平行，以及求面面夾角，利用空間向量求解立體幾何中的線面，面面位置關(guān)系及求線面角，二面角，是空間向量的重要應(yīng)用，引入空間向量，大大降低了求解立體幾何問題時的問題時的推理難度，使得思考變得容易，但此法也有不足，從解題過程可以看出，用空間向量法解立體幾何問題，運算量不少，計算時要嚴謹，莫因運算出錯導致解題失�。�本題要注意所求的二面角是鈍角這一情況，據(jù)此判斷出正確答案