Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．將△ABD沿對角線BD折起（圖2），記折起后點(diǎn)A的位置為P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱錐P-BCD的體積；
（2）求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意證明PE為三棱錐P-BCD的高，由原圖形可得三角形BDC為等腰直角三角形，求出其面積，則三棱錐P-BCD的體積可求；
（2）由（1）的求解過程知道PE⊥BD，DC⊥BD，過E作DC的平行線后以E點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC與平面PCD的法向量，由平面法向量求平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大�。�
解答：解：（1）∵平面PBD⊥平面BCD，PE⊥BD，PE?平面PBD，平面PBD∩平面BCD=BD，
∴PE⊥平面BCD，
即PE是三棱錐P-BCD的高，
又∵AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠BDC=90°，，
∴，，
∴三棱錐P-BCD的體積．
（2）過E作直線EG∥DC，交BC于G，則EG⊥BD，EG⊥PE
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，.，．
設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），
則，即，化簡得
令x=1，得z=1，y=1，所以=（1，1，1）是平面PBC的一個(gè)法向量．
再設(shè)，
則，即，化簡得
令x₁=1，得y₁=0，z₁=-1，所以平面PCD的一個(gè)法向量為=（1，0，-1）．
設(shè)向量和所成角為θ，則．
∴平面PBC與平面PCD所成二面角的平面角的大小為90°．
點(diǎn)評：本題考查了棱錐的體積的求法，考查了二面角的平面角及求法，綜合考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，解答此題時(shí)一定要注意折疊前后的變量與不變量，此題是中檔題．