Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)h（x）=x²-mx+4，當a=2時，若?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），且，當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上單調(diào)遞增；當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a．由此能夠判斷f（x）的單調(diào)性．
（Ⅱ）由g（x）=ax-，定義域為（0，+∞），知-=，因為g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以?x∈（0，+∞），g′（x）≥0，由此能夠求出正實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）當a=2時，g（x）=2x-，，由g′（x）=0，得x=或x=2．當時，g′（x）≥0當x時，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），且，
①當a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上單調(diào)遞增；
②當a＜0時，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上單調(diào)遞減，在（-a，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）g（x）=ax-，g（x）的定義域為（0，+∞），
-=，
因為g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以?x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax²-5x+a≥0，
∴a（x²+1）≥5x，
即，
∴．
∵，當且僅當x=1時取等號，
所以a．
（Ⅲ）當a=2時，g（x）=2x-，，
由g′（x）=0，得x=或x=2．
當時，g′（x）≥0；當x時，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，，
而“?x₁∈（0，1），?x₂∈[1，2]，總有g(shù)（x₁）≥h（x₂）成立”等價于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}，
所以有，
∴，
∴，
解得m≥8-5ln2，
所以實數(shù)m的取值范圍是[8-5ln2，+∞）．
點評：本題考查在閉區(qū)間上求函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．