Question

已知P（x，y）是圓C：x²+（y-4）²=1外一點，過點P作圓C的切線，切點為A、B．記四邊形PACB的面積為f（P），當P（x，y）在圓D：（x+4）²+（y-1）²=4上運動時，f（P）的取值范圍為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，連接CD并延長，與圓D分別交于M、N，由圓C與圓D的方程得出圓心C、D的坐標，即各自的半徑r與R，利用兩點間的距離公式求出圓心距|CD|的長，當P在N處時，四邊形ACBP面積最�。划擯在M處時，四邊形ACBP面積最大，分別求出即可得到f（P）的范圍．
解答：解：由題意得到圓心C（0，4），半徑r=1；圓心D（-4，1），半徑R=2，
∴|CD|==5，
∴|CN|=5-2=3，|CM|=5+2=7，
當P位于圖形中的N位置時，四邊形ACBP面積最小，
過P作圓C的切線，切點分別為A、B，連接AC，BC，可得出|AC|=|BC|=1，且CA⊥AP，CB⊥BP，
在Rt△ACP中，根據(jù)勾股定理得：AP==2，
此時S_{四邊形ACBP}=2S_△ACP=AP•AC=2；
當P位于圖形中的M位置時，四邊形ACBP面積最大，
同理得到S_{四邊形ACBP}=4，
綜上，f（P）的范圍為[2，4]．
故答案為：[2，4]
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，兩點間的距離公式，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中重要的思想方法，做題時注意靈活運用．