Question

某地區(qū)試行中考考試改革，在九年級(jí)學(xué)年中舉行4次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過(guò)其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升入高中繼續(xù)學(xué)習(xí)，不再參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加4次測(cè)試，假設(shè)某學(xué)生每次通過(guò)測(cè)試的概率都是

1

3

，每次測(cè)試時(shí)間間隔恰當(dāng)，每次測(cè)試通過(guò)與否互相獨(dú)立．
（Ⅰ）求該學(xué)生在前兩次測(cè)試中至少有一次通過(guò)的概率；
（Ⅱ）假定該生通過(guò)其中2次測(cè)試，則結(jié)束測(cè)試，否則繼續(xù)測(cè)試直至判定他能否升入高中繼續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)停止，且最多參加完4次測(cè)試，記該生參加測(cè)試的次數(shù)為X，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“該生在前兩次測(cè)試中至少有一次通過(guò)”的事件為事件A，則

.

A

表示“該生在前兩次測(cè)試中兩次均未通過(guò)”，根據(jù)已知，結(jié)合對(duì)立事件概率減法公式，可得答案．
（II）由題意可知參加測(cè)試次數(shù)X的可能取值為2，3，4，進(jìn)而求出X的分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式可得X的數(shù)學(xué)期望

解答：解：（Ⅰ）記“該生在前兩次測(cè)試中至少有一次通過(guò)”的事件為事件A，則
P（A）=1-（1-

1

3

）²=

5

9

…（4分）
答：該生在前兩次測(cè)試中至少有一次通過(guò)的概率為

5

9

．
（Ⅱ）參加測(cè)試次數(shù)X的可能取值為2，3，4，
P（X=2）=（

1

3

）²=

1

9

，…（6分）
P（X=3）=

C

1 2

•

1

3

•

2

3

+（

2

3

）³=

4

9

，…（7分）
P（X=4）=

C

1 3

•

1

3

•（

2

3

）²=

4

9

，…（8分）

X	2	3	4
P	1 9	4 9	4 9

故X的分布列為：…（9分）
E（X）=2×

1

9

+3×

4

9

+4×

4

9

=

10

3

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查對(duì)立事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目解題的關(guān)鍵是看清題目事件的特點(diǎn)，找出解題的規(guī)律，遇到類似的題目要求能做．