Question

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次統(tǒng)一測(cè)試，學(xué)生如果通過其中2次測(cè)試即可獲得足夠?qū)W分升上大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其余的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只能參加5次測(cè)試．假設(shè)某學(xué)生每次通過測(cè)試的概率都是

1

3

，每次測(cè)試通過與否互相獨(dú)立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測(cè)試，則第5次不能參加測(cè)試．
（I）求該學(xué)生考上大學(xué)的概率；
（II）如果考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束，求該生參加測(cè)試的次數(shù)為4的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，其對(duì)立事件為

.

A

，結(jié)合題意得到事件

.

A

的概率，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得到答案．
（Ⅱ）記“該學(xué)生恰好經(jīng)過4次測(cè)試考上大學(xué)”為事件B，記“該學(xué)生前4次都沒有通過測(cè)試”為事件C，由相互獨(dú)立事件概率的乘法公式計(jì)算可得P（B）、P（C），該生參加測(cè)試的次數(shù)為4，即B∪C，由互斥事件概率的加法公式計(jì)算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）記“該生考上大學(xué)”的事件為事件A，其對(duì)立事件為

.

A

，
∴根據(jù)題意可得：P(

.

A

)=

C

1 5

(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5，
∴P(A)=1-[

C

1 5

•(

1

3

)(

2

3

)4+(

2

3

)5]=

131

243

，
∴該學(xué)生考上大學(xué)的概率為

131

243

．
（Ⅱ）記“該學(xué)生恰好經(jīng)過4次測(cè)試考上大學(xué)”為事件B，記“該學(xué)生前4次都沒有通過測(cè)試”為事件C，
則P（B）=C₃¹×（

1

3

）²×（

2

3

）²=

4

27

，
P（C）=（

2

3

）⁴=

16

81

，
該生參加測(cè)試的次數(shù)為4，即B∪C，其概率P（B∪C）=

4

27

+

16

81

=

28

81

，
則該生參加測(cè)試的次數(shù)為4的概率為

28

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率計(jì)算，關(guān)鍵是審清題意，明確事件之間的關(guān)系，其次注意對(duì)立事件的應(yīng)用．