Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓M上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)得出2a+2c的值，又橢圓的離心率即可求得a，c，所以b=1，最后寫出橢圓M的方程；
（Ⅱ）不妨設(shè)直線AB的方程x=ky+m，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得m值，從而解決問題．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓M上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長為，
所以，
又橢圓的離心率為，即，所以，…（2分）
所以a=3，．
所以b=1，橢圓M的方程為．…（3分）
（Ⅱ）不妨設(shè)直線AB的方程x=ky+m．
由消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，…（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有，．①…（6分）
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過點(diǎn)C，所以 ．
由 ，
得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（7分）
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 （k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0．
將 ①代入上式，解得 或m=3（舍）．…（8分）
所以，令D是直線AB與X軸的交點(diǎn)，則|DC|=
則有=．…（10分）
設(shè)，則．
所以當(dāng)時(shí)，S_△ABC取得最大值．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和三角形面積的最大值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．