(本題滿分 13分)
集合為集合個不同的子集,對于任意不大于的正整數(shù)滿足下列條件:
,且每一個少含有三個元素;
的充要條件是(其中)。
為了表示這些子集,作列的數(shù)表(即數(shù)表),規(guī)定第行第列數(shù)為:。
(1)該表中每一列至少有多少個1;若集合,請完成下面數(shù)表(填符合題意的一種即可);

(2)用含的代數(shù)式表示數(shù)表中1的個數(shù),并證明;
(3)設(shè)數(shù)列項和為,數(shù)列的通項公式為:,證明不等式:對任何正整數(shù)都成立。
(1)見解析。
(2),證明見解析。
(3)證明見解析。
(1)根據(jù)條件①每個中至少含有三個元素,作出的數(shù)表每一列至少有三個1。
數(shù)表如下:
 
1
2
3
4
5
6
7
1
0
0
0
0
1
1
1
2
1
0
0
1
0
0
1
3
1
1
0
0
0
1
0
4
1
0
1
0
1
0
0
5
0
1
1
0
0
0
1
6
0
1
0
1
1
0
0
7
0
0
1
1
0
1
0
 
(2)題設(shè)條件①中的表明的一條對角線上數(shù)字都是0,題設(shè)條件②表明除對角線以外,恰好一個為1,而另一個為0,即數(shù)表中除該對角線以外,0與1各占一半,故數(shù)表中共有個1。另一方面,根據(jù)題設(shè)條件①每一個至少含有三個元素得:作出的數(shù)表的每一列至少有3個1,所以整個數(shù)表(共有列)至少有個1,因此列出不等式:,解得。
(3)
檢驗也成立,故
證法一:要證:,只要證:

故只要證:,
即只要證, 又

所以命題得證。
證法二:同上       又

所以 
,故
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已知點列、…、(n∈N)順次為一次函數(shù)圖像上的點,點列、…、(n∈N)順次為x軸正半軸上的點,其中(0<a<1),對于任意n∈N,點、、構(gòu)成一個頂角的頂點為的等腰三角形。

(1)數(shù)列的通項公式,并證明是等差數(shù)列;
(2)證明為常數(shù),并求出數(shù)列的通項公式;
(3)上述等腰三角形中,是否存在直角三角形?若有,求出此時a值;若不存在,請說明理由。

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設(shè)數(shù)列的前n項積為;數(shù)列的前n項和為
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