Question

已知F為拋物線E：y²=2px（P＞0）的焦點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為2，且滿足|GF|=3．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），過點(diǎn)F作斜率為₁K的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不為2，連結(jié)AM、BM并延長交拋物線于C、D兩點(diǎn)，設(shè)直線CD的斜率為k₂，判斷

k1

k2

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由拋物線定義知GF=2+

p

2

=3，由此能求出拋物線方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），則k1=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12-y22 4

=

4

y1+y2

，同理k2=

4

y3+y4

，由此利用直線方程結(jié)合已知條件能求出

k1

k2

=2．

解答： 解：（Ⅰ）由拋物線定義知GF=2+

p

2

=3，解得p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
則k1=

y1-y2

x1-x2

=

y1-y2

y12-y22 4

=

4

y1+y2

，k2=

4

y3+y4

，
設(shè)AC所在的直線方程為y=m（x-2），
聯(lián)立

y=m(x-2) y2=4x

，得my²-4y-8m=0，
∴y₁y₃=-8，同理，y₂y₄=-8，
∴

k1

k2

=

4 y1+y2

4 y3+y4

=

y3+y4

y1+y2

=

(- 8 y1 )+(- 8 y2 )

y1+y2

=

-8

y1y2

，
設(shè)直線AB的方程為y=k₁（x-1），
聯(lián)立

y=k1(x-1) y2=4x

，得k1y2-4y-4k1=0，
∴y₁y₂=-4，
∴

k1

k2

=

-8

y1y2

=

-8

-4

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程的合理運(yùn)用．