Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AD、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求異面直線EF與AD₁所成角．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，通過(guò)證明四邊形BDD₁B₁為平行四邊形，證明BD∥B₁D₁，可證EF∥B₁D₁，再利用線面平行的判定定理證明EF∥平面CB₁D₁；
（2）連接B₁A，證明∠AD₁B₁為異面直線EF與AD₁所成角，解△AD₁B₁可得異面直線EF與AD₁所成的角．

解答： 解：（1）連接BD，∵E、F分別為棱AD、AB的中點(diǎn)．∴EF∥BD，
又DD₁∥BB₁且DD₁=BB₁，∴四邊形BDD₁B₁為平行四邊形，∴BD∥B₁D₁，
∴EF∥B₁D₁，又EF?平面CB₁D₁，∴EF∥平面CB₁D₁；
（2）連接B₁A，由（1）知EF∥B₁D₁，∴∠AD₁B₁為異面直線EF與AD₁所成角．
∵AD₁=B₁D₁=AB₁，
∴，∴∠AD₁B₁=60°，
即異面直線EF與AD₁所成角為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的證明及異面直線所成角的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與推理論證能力，利用作-證-求的思路求角的常用方法．