Question

設等差數(shù)列的首項為1，公差d（），m為數(shù)列中的項．

（1）若d=3，試判斷的展開式中是否含有常數(shù)項？并說明理由；

（2）證明：存在無窮多個d，使得對每一個m，的展開式中均不含常數(shù)項．

Answer 1

（1）解：因為是首項為1，公差為3的等差數(shù)列，所以．

             假設的展開式中的第r+1項為常數(shù)項（），

             ，于是.

    設，則有，即，這與矛盾.

         所以假設不成立，即的展開式中不含常數(shù)項.

（2）證明：由題設知a_n=，設m=，

      由（1）知，要使對于一切m，的展開式中均不含常數(shù)項，

      必須有：對于，滿足=0的r無自然數(shù)解，

      即.

      當d=3k時，.

故存在無窮多個d，滿足對每一個m，的展開式中均不含常數(shù)項．