Question

7．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的極坐標方程為：ρ²-4$\sqrt{2}ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）+7=0$．
（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在圓C上，求x+$\sqrt{3}$y的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先展開，再根據(jù)ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可將極坐標方程化為普通方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.$，α為參數(shù)，即可求x+$\sqrt{3}$y的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由${ρ^2}-4\sqrt{2}ρcos（{θ-\frac{π}{4}}）+7=0$有${ρ^2}-4\sqrt{2}ρ×\frac{{\sqrt{2}}}{2}（{cosθ+sinθ}）+7=0$，
即${ρ^2}-4\sqrt{2}ρcosθ-4\sqrt{2}ρsinθ+7=0$，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式有圓C的普通方程為：x²+y²-4x-4y+7=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圓的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+cosα\\ y=2+sinα\end{array}\right.$，α為參數(shù)
∴$x+\sqrt{3}y=2+2\sqrt{3}+\sqrt{3}sinα+cosα=2+2\sqrt{3}+2sin（{α+\frac{π}{6}}）$
∴$x+\sqrt{3}y$的取值范圍為$[{2\sqrt{3}，4+2\sqrt{3}}]$．

點評 本題考查極坐標方程化為普通方程，考查利用參數(shù)方程求x+$\sqrt{3}$y的取值范圍，屬于中檔題．