Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x₁（x₁＞0），過點(diǎn)A作拋物線C的切線l₁交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)Q，交直線于點(diǎn)M，當(dāng)|FD|=2時(shí)，∠AFD=60°．
（1）求證：△AFQ為等腰三角形，并求拋物線C的方程；
（2）若B位于y軸左側(cè)的拋物線C上，過點(diǎn)B作拋物線C的切線l₂交直線l₁于點(diǎn)P，交直線l于點(diǎn)N，求△PMN面積的最小值，并求取到最小值時(shí)的x₁值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)，則A處的切線方程為，即可得到得D，Q的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得到|FQ|=|AF|．由點(diǎn)A，Q，D的坐標(biāo)可知：D為線段AQ的中點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用兩點(diǎn)間的距離概率及點(diǎn)A滿足拋物線的方程即可得出．
（2）設(shè)B（x₂，y₂）（x₂＜0），則B處的切線方程為，與切線l₁的方程聯(lián)立即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．進(jìn)而得到三角形PMN的面積（h為點(diǎn)P到MN的距離），利用表達(dá)式及其導(dǎo)數(shù)即可得到最小值，即可得出x₁的值．
解答：解：（1）設(shè)，則A處的切線方程為，
可得：，
∴；
∴△AFQ為等腰三角形．
由點(diǎn)A，Q，D的坐標(biāo)可知：D為線段AQ的中點(diǎn)，
∴|AF|=4，得：
∴p=2，C：x²=4y．
（2）設(shè)B（x₂，y₂）（x₂＜0），則B處的切線方程為
聯(lián)立得到點(diǎn)P，聯(lián)立得到點(diǎn)M．
同理，
設(shè)h為點(diǎn)P到MN的距離，則==  ①

設(shè)AB的方程為y=kx+b，則b＞0，
由得到x²-4kx-4b=0，
得代入①得：S_△==，
要使面積最小，則應(yīng)k=0，得到②
令，得=，則=，
所以當(dāng)時(shí)，S（t）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，S（t）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，S取到最小值為，此時(shí)，k=0，
所以，解得．
故△PMN面積取得最小值時(shí)的x₁值為．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到拋物線的切線的斜率、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等知識(shí)與方法，熟練掌握其解題模式是解題的關(guān)鍵．