Question

設(shè)A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x²，x∈A}，且B∩C=C，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題

專題：集合

分析：首先，對a進(jìn)行分類討論，分為a＜-2，-2≤a＜0，0≤a＜2和a≥2四種情形，然后，結(jié)合集合B、C中元素構(gòu)成和B∩C=C，進(jìn)行求解．

解答： 解：當(dāng)a＜-2時，A為空集，滿足題意．
當(dāng)a≥-2時，A不是空集
∵B∩C=C⇒C⊆B，
∴B={y|y=2x+3，x∈A}={y|-1≤y≤2a+3}．
①當(dāng)a≥2時，
C={z|z=x²，x∈A}={z|0≤z≤a²}．
由C⊆B⇒a²≤2a+3，即-1≤a≤3．
而a≥2，∴2≤a≤3．
②當(dāng)0≤a＜2時，
C={z|z=x²，x∈A}={z|0≤z≤4}．
由C⊆B⇒4≤2a+3，即a≥

1

2

．
又0≤a＜2，∴

1

2

≤a＜2．
③當(dāng)-2≤a＜0時，
C={z|z=x²，x∈A}={z|a²＜z≤4}．
由C⊆B⇒4≤2a+3，即a≥

1

2

，這與-2≤a＜0矛盾，此時無解．
綜上有a的取值范圍為{a|a＜-2 或

1

2

≤a≤3}．
∴a∈（-∞，-2）∪[

1

2

，3]，
故答案為（-∞，-2）∪[

1

2

，3]．

點評：本題重點考查集合間的基本關(guān)系，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的值域的求解方法，考查不等式的解法、分類討論思想等綜合性問題，屬于中檔題．