Question

（1）求經(jīng)過直線l₁：7x-8y-1=0和l₂：2x+17y+9=0的交點(diǎn)，且垂直于直線2x-y+7=0的直線方程．
（2）直線l經(jīng)過點(diǎn)P（5，5），且和圓C：x²+y²=25相交，截得弦長為4

5

，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）由方程組

2x+17y+9=0 7x-8y-1=0

，解得直線l₁：7x-8y-1=0和l₂：2x+17y+9=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-

11

27

，-

13

27

)．由此能求出所求的直線方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y-5=k（x-5）．圓C：x²+y²=25的圓心為（0，0），半徑r=5，圓心到直線l的距離d=

|5-5k|

1+k2

．由此能求出直線l的方程．

解答：（1）解：由方程組

2x+17y+9=0 7x-8y-1=0

，
解得

x=- 11 27 y=- 13 27

，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(-

11

27

，-

13

27

)．
又因?yàn)橹本�斜率為k=-

1

2

，
所以求得直線方程為27x+54y+37=0．
（2）解：如圖易知直線l的斜率k存在，設(shè)直線l的方程為y-5=k（x-5）．
圓C：x²+y²=25的圓心為（0，0），半徑r=5，圓心到直線l的距離d=

|5-5k|

1+k2

．
在Rt△AOC中，d²+AC²=OA²，

(5-5k)2

1+k2

+(2

5

)2=25．
∴2k²-5k+2=0，∴k=2或k=

1

2

．
故直線l的方程為2x-y-5=0或x-2y+5=0．

點(diǎn)評：本題考查直線方程的求法，具體涉及到直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用、圓的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，是中檔題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．