Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點(diǎn)。

（I）證明：DE∥底面ABC；
（II）設(shè)二面角A-BC-D為60°，求BD與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值。

Answer 1

（Ⅰ）證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為F，連結(jié)AF、EF，則EF∥CC₁，且EF=CC₁，
 又AD∥CC₁，且AD=CC₁，  
∴EF∥AD，且EF=AD，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，
∴DE∥AF，
又∵DE平面ABC，AF平面ABC，
∴DE∥底面ABC。
（Ⅱ）解：連結(jié)DF，
∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC，
又∵AA₁⊥底面ABC，
∴AA₁⊥BC，
 又∵AA₁∩AF=A，
∴BC⊥平面ADF，∴BC⊥DF，
∴∠AFD就是A-BC-D的平面角，即∠AFD=60°，
∵BB₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥AF，
 又∵AF⊥BC，BC∩BB₁= B，
∴AF⊥平面BCE，
∵DE∥AF，
∴DE⊥平面BCE，
∴∠DBE就是BD與平面BCC₁B₁所成的角，
設(shè)AF=a，則DE=a，AD=，AB=，∴BD=，
∴sin∠DBE==。