Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用特殊值法判斷函數(shù)及不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此時(shí)，f（x）為偶函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a），
此時(shí)f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）若a=2，則f（x）=x²+|x-a|+1=x²+|x-2|+1
①當(dāng)x≤2時(shí)，f（x）=x²-x+3=（x-

1

2

）²+

11

4

，
此時(shí)當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（

1

2

）=

11

4

，
②當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+x-1=（x+

1

2

）²-

5

4

，
函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（2）=3，
綜上當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為f（

1

2

）=

11

4

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及二次函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值，考查分類討論思想，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．