如圖所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

(1)證明：AC⊥B1D；

(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．

 

【答案】

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直棱柱性質(zhì)，得平面，從而，結(jié)合,證出平面，從而得到；

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041704501637504586/SYS201404170451358437114220_DA.files/image009.png">，所以直線與平面夾角即直線與平面夾角

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸，設(shè)平面的一個(gè)法向量，通過計(jì)算求出，與的夾角的余弦值的絕對值就為直線與平面夾角的正弦值.

試題解析：(1) 是直棱柱

又

又，

（2）

直線與平面夾角即直線與平面夾角

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為原點(diǎn)，為軸正半軸，為軸正半軸，

設(shè),,,,,則，，

，即

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量

，，

直線與平面夾角的正弦值.

考點(diǎn)：1.線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理；2.向量法求空間角.

 

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=
3
，∠ABC=60°．
（1）證明：AB⊥A1C；
（2）求二面角A-A1C-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF=
a或2a
a或2a
時(shí)，CF⊥平面B1DF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•淄博三模）如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=
3
，D為棱CC1的中點(diǎn)．
（I）證明：A1C⊥平面AB1C1；
（Ⅱ）求三棱錐A-A1B1O的體積；
（Ⅲ）在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004年高考教材全程總復(fù)習(xí)試卷·數(shù)學(xué) 題型：013

如圖所示，在直棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，CC1＝2，∠BCA＝，則cos(，)的值為

[　　]

A．
B．
C．
D．

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