Question

在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，Ox軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的方程為

x= 1 tan? y= 1 tan2? .

（φ為參數），曲線C₂的極坐標方程為：ρ（cosθ+sinθ）=1，若曲線C₁與C₂相交于A、B兩點． 
（I）求|AB|的值；  
（Ⅱ）求點M（-1，2）到A、B兩點的距離之積．

Answer 1

分析：（I）先將兩曲線的方程都化成直角坐標方程，從而有曲線C₁的即y=x²；曲線C₂即直線x+y-1=0，把直線的方程代入圓的方程，化簡后得到一個關于x的一元二次方程，利用韋達定理即可求出|AB|的長；
（II）由（1）中的關于x的一元二次方程得到A，B兩點的坐標，再利用兩點間的距離公式求出點M（-1，2）到A、B兩點的距離，最后再求出點M（-1，2）到A、B兩點的距離之積．

解答：解：（I）曲線C₁的方程為

x= 1 tan? y= 1 tan2? .

（φ為參數）的普通方程為y=x²，
曲線C₂的極坐標方程為：ρ（cosθ+sinθ）=1，的直角坐標方程為：x+y-1=0，
把直線 x+y-1代入y=x²，
得x²+x-1=0，∴x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

，
∴x₁+x₂=-1．x₁x₂=-1，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+1)(1+4)

=

10

．
（II）由（I）得A，B兩點的坐標分別為A（

-1+ 5

2

，

3- 5

2

），B（

-1- 5

2

，

3+ 5

2

），
∴|MA|²=（

1+ 5

2

）²+（

1+ 5

2

）²，|MB|²=（

1- 5

2

）²+（

1- 5

2

）²，
則點M到A，B兩點的距離之積為|MA|•|MB|=2×

1+ 5

2

×

-1+ 5

2

=2．

點評：此題考查學生掌握并靈活運用直線與圓的參數方程，簡單曲線的極坐標方程，兩點間的距離公式等，是一道綜合題．