Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx，a≠0。
（1）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）圖象C₂交于點(diǎn)P、Q，過(guò)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)分別交C₁，C₂于點(diǎn)M、N，證明C₁在點(diǎn)M處的切線(xiàn)與C₂在點(diǎn)N處的切線(xiàn)不平行。

Answer 1

解：（1），
則
因?yàn)楹瘮?shù)h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，
所以＜0有解
又因?yàn)閤>0時(shí)，則ax²+2x-1>0有x>0的解
①當(dāng)a>0時(shí)，y=ax²+2x-1為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，ax²+2x-1>0總有x>0的解；
②當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax²+2x-1為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，而ax²+2x-1>0總有x>0的解；
則△=4+4a>0，且方程ax²+2x-1=0至少有一正根，此時(shí)，-1＜a＜0
綜上所述，a的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）。
（2）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂），0＜x₁＜x₂
則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為
C₁在點(diǎn)M處的切線(xiàn)斜率為
C₂在點(diǎn)N處的切線(xiàn)斜率為
假設(shè)C₁在點(diǎn)M處的切線(xiàn)與C₂在點(diǎn)N處的切線(xiàn)平行，則k₁=k₂
即，則


所以
設(shè)
則①
令則
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111125/20111125155747640880.gif">時(shí)，，
所以在）上單調(diào)遞增
故
則
這與①矛盾，假設(shè)不成立
故C₁在點(diǎn)M處的切線(xiàn)與C₂在點(diǎn)N處的切線(xiàn)不平行。