如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O為AB的中點，
（1）當(dāng)a=4時，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)a為何值時，在棱DE上存在點P，使CP⊥平面DEF？

解：（1）分別取AB、DF的中點O、G，
連接OC、OG，
以直線OB、OC、OG分別為x軸、y軸、z軸
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
則D、E、F的坐標(biāo)分別為D（1，0，1）、
E（0，，3）、F（-1，0，4），
∴=（-1，，2），=（-2，0，3），
設(shè)平面DEF的法向量，
由，
得，
可取，
平面ABC的法向量可以取，
∴，
∴平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為。
 （2）在（1）的坐標(biāo)系中，AF=a，
=（-1，，2），=（-2，0，a-1），
因P在DE上，設(shè)，
則
，
∴
，
于是CP⊥平面DEF的充要條件為
，
由此解得，，
即當(dāng)a=2時，在DE上存在靠近D的第一個四等分點P，
使CP⊥平面DEF。
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精英家教網(wǎng)如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（Ⅰ）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一點P，使CP⊥平面DEF？如果存在，求出DP的長；若不存在，說明理由．

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（1）當(dāng)a=4時，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)a為何值時，在棱DE上存在點P，使CP⊥平面DEF？

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥
平面ABC，AB=2，AF=2，CE=3，BD=1，O為BC的中點．
（1）求證：AO∥平面DEF；
（2）求證：平面DEF⊥平面BCED；
（3）求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值．

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知FA⊥平面ABC，BD=1，AF=2，CE=3，O為AB的中點．
（1）求證：OC⊥DF；
（2）試問線段CE上是否存在一點P，使得OP∥平面DEF？若存在，求出CP的長度，若不存在，請說明理由．

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