Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，（1-a_n）a_n+1=

1

4

．令b_n=a_n-

1

2

．
（1）求證：數(shù)列{

1

bn

}為等差數(shù)列；
（2）求和：S_n=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)已知條件對(duì)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，會(huì)進(jìn)一步利用定義證明數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，最后利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和．

解答： 解：（1）已知數(shù)列滿足關(guān)系式：(1-an)an+1=

1

4

，
所以：1-an=

1

4an+1

，
則：an-1=-

1

4an+1

，
所以：an-

1

2

=

1

2

-

1

4an+1

=

2an+1-1

4an+1

=

2(an+1- 1 2 )

4an+1

則：

1

an- 1 2

=

2an+1

an+1- 1 2

=

2an+1-1+1

an+1- 1 2

=2+

1

an+1- 1 2

由于：bn=an-

1

2

所以：bn+1=an+1-

1

2

1

bn+1

-

1

bn

=-2（常數(shù)）
所以：數(shù)列{

1

bn

}是等差數(shù)列．
（2）由（1）得：

1

an- 1 2

=

1

a1- 1 2

-2(n-1)
整理得：an=

1

2

(

n

n+1

)
所以：

an+1

an

=1+

1

n(n+2)

=1+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
Sn=

a2

a1

+

a3

a2

+…+

an+1

an

=(1+1+…+1)+

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=n+

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=n+

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：遞推關(guān)系式的恒等變換，利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列，裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用．屬于中等題型．