Question

如圖是一塊長方形區(qū)域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在邊AD的中點(diǎn)O處，有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角∠EOF始終為，設(shè)∠AOE=α（0≤α≤），探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S．
（1）當(dāng)0≤α＜時(shí)，寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)0≤α≤時(shí)，求S的最大值．
（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個(gè)來回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個(gè)來回”，忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時(shí)所用時(shí)間），且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小一定，設(shè)AB邊上有一點(diǎn)G，且∠AOG=，求點(diǎn)G在“一個(gè)來回”中，被照到的時(shí)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OH⊥BC，H為垂足，討論α的范圍，當(dāng)0≤α≤時(shí)，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上，根據(jù)S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF，當(dāng)＜α＜時(shí)，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上，S=S_△OEF．
（2）當(dāng)0≤α≤時(shí)，利用基本不等式求出S的最大值，注意等號(hào)成立的條件；
（3）在“一個(gè)來回”中，求出OE共轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，其中點(diǎn)G被照到時(shí)，共轉(zhuǎn)的角度，從而可求出“一個(gè)來回”中，點(diǎn)G被照到的時(shí)間．
解答：解：（1）過O作OH⊥BC，H為垂足．
①當(dāng)0≤α≤時(shí)，
E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上（如圖①），
此時(shí)，AE=tanα，F(xiàn)H=，…（2分）
∴S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF
=．   …（4分）
②當(dāng)＜α＜時(shí)，
E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖②），
此時(shí)，EH=，F(xiàn)H=，…（6分）
∴EF=．
∴S=S_△OEF=．
綜上所述，…（8分）
（2）當(dāng)0≤α≤時(shí)，S=，
即S=．             …（10分）
∵0≤α≤，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．
∴≥2．
∴S≤2-．
當(dāng)tanα=-1時(shí)，S取得最大值為2-．    …（12分）
（3）在“一個(gè)來回”中，OE共轉(zhuǎn)了2×=．
其中點(diǎn)G被照到時(shí)，共轉(zhuǎn)了2×=．  …（14分）
則“一個(gè)來回”中，點(diǎn)G被照到的時(shí)間為（分鐘）．…（16分）
點(diǎn)評：本題主要考查了解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題．