Question

如圖是一塊長方形區(qū)域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在邊AD的中點O處，有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈，其照射角∠EOF始終為，設(shè)∠AOE=α（0≤α≤），探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S．
（1）當(dāng)0≤α＜時，寫出S關(guān)于α的函數(shù)表達式；
（2）當(dāng)0≤α≤時，求S的最大值．
（3）若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”（OE自O(shè)A轉(zhuǎn)到OC，再回到OA，稱“一個來回”，忽略O(shè)E在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時所用時間），且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定，設(shè)AB邊上有一點G，且∠AOG=，求點G在“一個來回”中，被照到的時間．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OH⊥BC，H為垂足，討論α的范圍，當(dāng)0≤α≤時，E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上，根據(jù)S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF，當(dāng)＜α＜時，E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上，S=S_△OEF．
（2）當(dāng)0≤α≤時，利用基本不等式求出S的最大值，注意等號成立的條件；
（3）在“一個來回”中，求出OE共轉(zhuǎn)動的角度，其中點G被照到時，共轉(zhuǎn)的角度，從而可求出“一個來回”中，點G被照到的時間．
解答：解：（1）過O作OH⊥BC，H為垂足．
①當(dāng)0≤α≤時，
E在邊AB上，F(xiàn)在線段BH上（如圖①），
此時，AE=tanα，F(xiàn)H=，…（2分）
∴S=S_{正方形OABH}-S_△OAE-S_△OHF
=．   …（4分）
②當(dāng)＜α＜時，
E在線段BH上，F(xiàn)在線段CH上（如圖②），
此時，EH=，F(xiàn)H=，…（6分）
∴EF=．
∴S=S_△OEF=．
綜上所述，…（8分）
（2）當(dāng)0≤α≤時，S=，
即S=．             …（10分）
∵0≤α≤，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．
∴≥2．
∴S≤2-．
當(dāng)tanα=-1時，S取得最大值為2-．    …（12分）
（3）在“一個來回”中，OE共轉(zhuǎn)了2×=．
其中點G被照到時，共轉(zhuǎn)了2×=．  …（14分）
則“一個來回”中，點G被照到的時間為（分鐘）．…（16分）
點評：本題主要考查了解三角形在實際問題中的應(yīng)用，同時考查了利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題．