【題目】已知函數(shù)，（ ， ）.

（1）若， ，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若時，不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當， 時，記函數(shù)的導函數(shù)的兩個零點是和（），求證： .

【答案】（1）， ；（2）；（3）詳見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用導函數(shù)大于零可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為， .

(2)不等式恒成立轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合題意討論其性質(zhì)可得；

(3)由題意可得（），由根與系數(shù)的關(guān)系： .由題意有

， ，構(gòu)造新函數(shù).利用函數(shù)的性質(zhì)可得.

試題解析：（1）由題意： ， ， 時，

所以

令，得，因為，所以或

所以的單調(diào)增區(qū)間為，

（2）時， ，

不等式在上恒成立即為： 在區(qū)間上恒成立

令，則，令得： ，

因為時， ， 時， ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以，所以

（3）方法一：因為，所以，從而（）

由題意知， ， 是方程的兩個根，故.

記，則，因為，所以

，所以， ，且（， ）.

因為，所以， .

令， .

因為，所以在單調(diào)遞增，

所以，即.

方法二：因為，所以，從而（）.

由題意知， ， 是方程的兩個根.記，則，

因為，所以， ，

所以， ，且在上為減函數(shù).

所以.

因為，故.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品兩次，每次隨機抽取1件，假設(shè)事件A：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”，其概率P(A)=0.96.

(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率p.

(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中無放回抽取2件產(chǎn)品，ξ表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù).求ξ的分布列.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我們用圓的性質(zhì)類比球的性質(zhì)如下:

①p:圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦; q:球心與小圓截面圓心的連線垂直于截面.

②p:與圓心距離相等的兩條弦長相等; q:與球心距離相等的兩個截面圓的面積相等.

③p:圓的周長為C=πd(d是圓的直徑); q:球的表面積為S=πd2(d是球的直徑).

④p:圓的面積為S=R·πd(R,d是圓的半徑與直徑); q:球的體積為V=R·πd2(R,d是球的半徑與直徑).

則上面的四組命題中,其中類比得到的q是真命題的有( )個

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2015年7月9日21時15分，臺風“蓮花”在我國廣東省陸豐市甲東鎮(zhèn)沿海登陸，造成165.17萬人受災(zāi)， 5.6萬人緊急轉(zhuǎn)移安置，288間房屋倒塌，46.5千公頃農(nóng)田受災(zāi)，直接經(jīng)濟損失12.99億元，距離陸豐市222千米的梅州也受到了臺風的影響，適逢暑假，小明調(diào)查了梅州某小區(qū)的50戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成， ， ， ， 五組，并作出如下頻率分布直方圖（圖1）：

（1）試根據(jù)頻率分布直方圖估計小區(qū)平均每戶居民的平均損失；

（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）小明向班級同學發(fā)出倡議，為該小區(qū)居民捐款，現(xiàn)從損失超過6000元的居民中隨機

抽出2戶進行捐款援助，求抽出的2戶居民損失均超過8000元的概率；

（3）臺風后區(qū)委會號召該小區(qū)居民為臺風重災(zāi)區(qū)捐款，小明調(diào)查的50戶居民捐款情況如下表，

在圖2表格空白外填寫正確數(shù)字，并說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額超過或

不超過500元和自身經(jīng)濟損失是否超過4000元有關(guān)？

經(jīng)濟損失不超過4000元

經(jīng)濟損失超過4000元

合計

捐款超過500元

30

捐款不超過500元

6

合計

附：臨界值參考公式： ， .

0.15

0.10

0.05

/td>

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，（ ）

（1）若，求曲線在處的切線方程.

（2）對任意，總存在，使得（其中為的導數(shù)）成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】十八屆五種全會公報指出：努力促進人口均衡發(fā)展，堅持計劃生育的基本國策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略，全面實施一對夫婦可生育兩個孩子的政策，提高生殖保健、婦幼保健、托兒等公共服務(wù)水平.為了解適齡公務(wù)員對放開生育二胎政策的態(tài)度，某部門隨機調(diào)查了100位30到40歲的公務(wù)員，得到情況如下表：

男公務(wù)員

女公務(wù)員

生二胎

40

20

不生二胎

20

20

（1）是否有95%以上的把握認為“生二胎與性別有關(guān)”，并說明理由；

（2）把以上頻率當概率，若從社會上隨機抽取3位30到40歲的男公務(wù)員，記其中生二胎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列，數(shù)學期望.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某工廠于2016年下半年對生產(chǎn)工藝進行了改造（每半年為一個生產(chǎn)周期），從2016年一年的產(chǎn)品中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示（如圖）．已知每個生產(chǎn)周期內(nèi)與其中位數(shù)誤差在±5范圍內(nèi)（含±5）的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，與中位數(shù)誤差在±15范圍內(nèi)（含±15）的產(chǎn)品為合格品（不包括優(yōu)質(zhì)品），與中位數(shù)誤差超過±15的產(chǎn)品為次品．企業(yè)生產(chǎn)一件優(yōu)質(zhì)品可獲利潤20元，生產(chǎn)一件合格品可獲利潤10元，生產(chǎn)一件次品要虧損10元

（Ⅰ）求該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為10的概率；

（Ⅱ）是否有95%的把握認為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．

附：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

K2=．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在某校舉行的航天知識競賽中，參與競賽的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在，分數(shù)在以上（含）的同學獲獎. 按文理科用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖（見下圖）.

（1）填寫下面的列聯(lián)表，能否有超過的把握認為“獲獎與學生的文理科有關(guān)”？

（2）將上述調(diào)査所得的頻率視為概率，現(xiàn)從參賽學生中，任意抽取名學生，記“獲獎”學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

文科生

理科生

合計

獲獎

不獲獎

合計

附表及公式：

，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，

①記的導函數(shù)為，求；

②若方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在上存在一點使成立，求實數(shù)的取值范圍.

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