Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），平行于OM直線?在y軸上的截距為m（m＜0），設(shè)直線?交橢圓于兩個不同點(diǎn)A、B，
（1）求橢圓方程；
（2）求證：對任意的m的允許值，△ABM的內(nèi)心I在定直線x=2上．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），建立方程組，從而可求橢圓的方程；
（2）證明△ABM的角平分線MI垂直x軸，從而內(nèi)心I的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，則可得對任意的m的允許值，△ABM的內(nèi)心I在定直線 x=2上．
解答：（1）解：設(shè)橢圓方程為
則∵長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M（2，1），
∴
所以，橢圓方程為（5分）
（2）證明：因?yàn)橹本�?平行于OM，且在y軸上的截距為m，又，所以直線?的方程為，
由，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，（8分）
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁、k₂，則，
故===（12分）
故k₁+k₂=0，所以，△ABM的角平分線MI垂直x軸，因此，內(nèi)心I的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，則對任意的m的允許值，△ABM的內(nèi)心I在定直線 x=2上（13分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理，從而確定直線MA、MB的斜率的和為0．