Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分別為PA、BC的中點(diǎn)，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=，CD=1．
（1）證明：MN∥平面PCD；
（2）證明：MC⊥BD；
（3）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證MN∥平面PCD，根據(jù)MN?平面MNE，可先證平面MNE∥平面PCD，取AD中點(diǎn)E，連接ME，NE，根據(jù)中位線可知ME∥PD，NE∥CD，又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，滿足平面與平面平行的判定定理，最后根據(jù)性質(zhì)定理可知結(jié)論；
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出與，根據(jù)•=0即可證明MC⊥BD；
（3）先求出平面PBD的法向量，然后求出平面PAB的法向量，設(shè)二面角A-PB-D的平面角為θ，最后根據(jù)向量的夾角公式求出二面角A-PB-D的余弦值．
解答：解：（1）證明：取AD中點(diǎn)E，連接ME，NE，
由已知M，N分別是PA，BC的中點(diǎn)，
∴ME∥PD，NE∥CD
又ME，NE?平面MNE，ME∩NE=E，
所以，平面MNE∥平面PCD，（2分）
所以，MN∥平面PCD（3分）

（2）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，
所以PD⊥DA，PD⊥DC，
在矩形ABCD中，AD⊥DC，
如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
射線DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系（4分）
則D（0，0，0），A（，0，0），B（，1，0）C（0，1，0），P（0，0，）（6分）
所以M（，0，），，（7分）
∵•=0，所以MC⊥BD（8分）

（3）解：因?yàn)镸E∥PD，所以ME⊥平面ABCD，ME⊥BD，又BD⊥MC，
所以BD⊥平面MCE，
所以CE⊥BD，又CE⊥PD，所以CE⊥平面PBD，（9分）
由已知，
所以平面PBD的法向量（10分）
M為等腰直角三角形PAD斜邊中點(diǎn)，所以DM⊥PA，
又CD⊥平面PAD，AB∥CD，
所以AB⊥平面PAD，AB⊥DM，
所以DM⊥平面PAB，（11分）
所以平面PAB的法向量（-，0，）
設(shè)二面角A-PB-D的平面角為θ，
則．
所以，二面角A-PB-D的余弦值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、直線與直線的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問題的能力．