Question

（2013•資陽(yáng)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過（1，1）與（

6

2

，

3

2

）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|．求證：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

為定值．

Answer 1

分析：（I）把（1，1）與（

6

2

，

3

2

）兩點(diǎn)代入橢圓方程解出即可．
（II）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)；同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)；直接代入計(jì)算即可．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為y=-

1

k

x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立解出坐標(biāo)，即可得到|OA|2=|OB|2=

x

2 1

+

y

2 1

=

3(1+k2)

1+2k2

，同理|OM|2=

3(1+k2)

2+k2

，代入要求的式子即可．

解答：解析（Ⅰ）將（1，1）與（

6

2

，

3

2

）兩點(diǎn)代入橢圓C的方程，
得

1 a2 + 1 b2 =1 3 2a2 + 3 4b2 =1

解得

a2=3 b2= 3 2

．
∴橢圓PM₂的方程為

x2

3

+

2y2

3

=1．
（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2(

1

a2

+

1

b2

)=2．
同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=

1

a2

+

1

a2

+

2

b2

=2(

1

a2

+

1

b2

)=2．
②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），
則直線OM的方程為y=-

1

k

x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx x2 3 + 2y2 3 =1

解得

x

2 1

=

3

1+2k2

，

y

2 1

=

3k2

1+2k2

，
∴|OA|2=|OB|2=

x

2 1

+

y

2 1

=

3(1+k2)

1+2k2

，同理|OM|2=

3(1+k2)

2+k2

，
所以

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=2×

1+2k2

3(1+k2)

+

2(2+k2)

3(1+k2)

=2，
故

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OM|2

=2為定值．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等