設有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運行,地球恰好位于橢圓軌道的焦點處,當此彗星離地球相距m萬千米和
4
3
m萬千米時,經(jīng)過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角分別為
π
2
π
3
,求該彗星與地球的最近距離.
分析:仔細分析題意,由橢圓的幾何意義可知:只有當該彗星運行到橢圓的較近頂點處時,彗星與地球的距離才達到最小值即為a-c,這樣把問題就轉化為求a,c或a-c.
解答:精英家教網(wǎng)解:建立如圖所示直角坐標系,設地球位于焦點F(-c,0)處,
橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1,
當過地球和彗星的直線與橢圓的長軸夾角為
π
3
時,
由橢圓的幾何意義可知,彗星A只能滿足∠xFA=
π
3
(或∠xFA′=
π
3
).
作AB⊥Ox于B,則|FB|=
1
2
|FA|=
2
3
m,
故由橢圓的第二定義可得
m=
c
a
a2
c
-c),①
4
3
m=
c
a
a2
c
-c+
2
3
m).②
兩式相減得
1
3
m=
c
a
2
3
m,∴a=2c.
代入①,得m=
1
2
(4c-c)=
3
2
c,
∴c=
2
3
m.∴a-c=c=
2
3
m.
答:彗星與地球的最近距離為
2
3
m萬千米.
點評:本題主要考查橢圓的定義,本題的實際意義是求橢圓上一點到焦點的距離,一般的思路:由直線與橢圓的關系,列方程組解之;或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解.同時,還要注意結合橢圓的幾何意義進行思考.
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