Question

已經拋物線y²=2px（p＞o）與直線l交于A，B兩點，且

OA

•

OB

=0，過原點O作直線AB的垂線OM，垂足為M(3，

3

)．
（1）求拋物線的方程；
（2）設點Q（a，0）是坐標軸上一點，P為拋物線上任一點，當|QP|最小值等于2

3

時，求P點的坐標及相應a的值．

Answer 1

分析：（1）由OM⊥AB可得KAB=-

3

，直線AB的方程為y-

3

=-

3

(x-3)，聯(lián)立方程

y=- 3 x+4 3 y2=2px

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，結合方程的根與系數(shù)的關系可求P，進而可求拋物線的方程
（2）設P（x，y）則PQ=

(x-a)2+y2

=

x2-(2a-4)x+a2

=

[x-(a-2)]2+4a-4

，根據(jù)二次函數(shù)的性質可求PQ 的最小值，從而可求a及P．

解答：解：由題意可得直線OM的斜率K=

3

3

，且OM⊥AB
∴KAB=-

3

，直線AB的方程為y-

3

=-

3

(x-3)
聯(lián)立方程

y=- 3 x+4 3 y2=2px

整理可得3x²-（24+2p）x+48=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁x₂=16，x1+x2=

24+2p

3

∴y1y2=(4

3

-

3

x1)(4

3

-

3

x2)=48-12（x₁+x₂）+3x₁x₂=-8p

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=16-8p=0
∴p=2
∴拋物線的方程為y²=4x
（2）設P（x，y）則PQ=

(x-a)2+y2

=

x2-(2a-4)x+a2

=

[x-(a-2)]2+4a-4

根據(jù)二次函數(shù)的性質可得當x=a-2時PQmin=

4a-4

=2

3

∴a=4，此時P（2，，2

2

）

點評：本題主要考查了利用拋物線的性質求解拋物線方程，注意方程的根與系數(shù)關系的應用，還考查了二次函數(shù)的最值的求解．