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精英家教網已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B．（如圖）
（1）當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
（2）當
FA
=λ
AP
時，求λ的最大值．
分析：（1）要求橢圓方程即求a、b的值，根據l1與l2的夾角為60°可以得
b
a
=
3
3
，由雙曲線的距離為4可以得a2+b2=4，進而解關于a，b的方程組可以得a、b，寫出橢圓的標準方程．
（2）根據
FA
=λ
AP
，欲求λ的最大值，需求A、P的坐標，而P是l與l1的交點，故需求l的方程．將l與l2的方程聯立可求得P的坐標，進而可求得點A的坐標．將A的坐標代入橢圓方程可求得λ的最大值．
解答：解：（1）∵雙曲線的漸近線為y=±
b
a
x，兩漸近線夾角為60°，
又
b
a
＜1，∴∠POx=30°，即
b
a
=tan30°=
3
3
．
∴a=
3
b．
又a2+b2=4，
∴a2=3，b2=1．
故橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
（2）由已知l：y=
a
b
（x-c），與y=
b
a
x解得P（
a2
c
，
ab
c
），
由
FA
=λ
AP
得A（
c+λ•
a2
c
1+λ
，
λ•
ab
c
1+λ
）．
將A點坐標代入橢圓方程得（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．
∴（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2．
∴λ2=
e4-e2
e2-2
=-[（2-e2）+
2
2-e2
]+3≤3-2
2
．
∴λ的最大值為
2
-1．
點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考查橢圓的標準方程，考查雙曲線的應用，考查函數的最值，本題是一個綜合題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，橢圓C的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），斜率為k（k≠0）的直線l經過點F2，交橢圓于A、B兩點，且△ABF1的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點E為x軸上一點，
AF2
=λ
F2B
（λ∈R），若
F1F2
⊥(
EA
+λ
BE
)，求點E的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•崇明縣二模）已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
2
= 1（a＞0），其焦點在x軸上，點Q(
2
2
，
7
2
)為橢圓上一點．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設動點P（x0，y0）滿足
OP
=
OM
+2
ON
，其中M、N是橢圓C上的點，直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
，求證：
x
2
0
+2
y
2
0
為定值；
（3）在（2）的條件下探究：是否存在兩個定點A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），過其左焦點F1（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
與
a
=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-
1
2
=0，在l上求一點M，使以橢圓的焦點為焦點且過M點的雙曲線E的實軸最長，求點M的坐標和此雙曲線E的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　　）

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點F的直線與C相交于A、B兩點，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　�。�
A．2x-y-2=0B．2x+y-2=0C．2x-y+2=0D．2x+y+2=0

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