Question

（2013•崇明縣二模）已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

2

= 1（a＞0），其焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)Q(

2

2

，

7

2

)為橢圓上一點(diǎn)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M、N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，求證：

x

2 0

+2

y

2 0

為定值；
（3）在（2）的條件下探究：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得a²；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，可得M、N坐標(biāo)間的關(guān)系式，由

OP

=

OM

+2

ON

，⇒

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，從而

x

2 0

+2

y

2 0

可化為M、N坐標(biāo)的表達(dá)式，再由M、N是橢圓C上的點(diǎn)即可求得

x

2 0

+2

y

2 0

為定值；
（3）由（2）知，動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足x02+2y02=20，從而可判斷點(diǎn)P軌跡是橢圓，其焦點(diǎn)即為定點(diǎn)A、B；

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)Q(

2

2

，

7

2

)為橢圓上一點(diǎn)，
所以

1

2a2

+

7

8

=1，解得a²=4，
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又kOM•kON=

y1

x1

•

y2

x2

=-

1

2

，化簡(jiǎn)得x₁x₂+2y₁y₂=0，
又M、N是橢圓C上的點(diǎn)，所以

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，
由

OP

=

OM

+2

ON

，⇒

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，
所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20（定值）；                                     
（3）由（2）知，動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足x02+2y02=20，即

x02

20

+

y02

10

=1，
所以點(diǎn)P的軌跡是以(±

10

，0)為焦點(diǎn)的橢圓．
故存在點(diǎn)A（

10

，0）、B（-

10

，0），使得|PA|+|PB|=4

5

（定值）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解及平面向量基本定理，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解分析能力及解決問(wèn)題的能力，具有一定綜合性．